메커니즘 디자인(게임이론)

미비정보시에 각 게임참가자들은 자신의 기대보수와 기대수익을 극대화하는 전략을 사용합니다.

 

여러 상황들을 살펴보겠습니다.

 

항공사의 경우 수익 극대화를 위해 비즈니스석 일등석 일반석 등 여러 제품을 다양한 가격에 내놓습니다. 이론적 배경을 살펴보죠

부자와 평민이 비즈니스석과 일반석의 지불용의가 다른 경우입니다. 정보가 있을시에 항공사는 25+25b의 수익을 얻을 수 있습니다.

 

하지만 정보가 없을 시에 항공사는 3가지 전략을 생각해 볼 수 있죠.

그냥 비싸게 비즈니스만 팔기, 싸게 일반석만 팔기 적당한 가격으로 둘 다 팔기!

 

1,2번의 수익은 구하기 쉽습니다.

하지만 적당한 가격을 구하는 것이 조금 어려운데요. 부자들은 비싼 걸 사고 평민들은 싼 걸 사는 가격의 범위를 구하고 그 범위 내에서 이윤을 극대화 할 수 있는 전략을 구하면 되는 것입니다.

 

변수가 2개니 부등식 제약하의 최적화같은 고급수학 대신 평면에서 보일 수 있죠.

 

 

이번엔 조금 특이한 경우를 살펴보겠습니다. 시장에는 좋은 제품과 나쁜 제품이 100개 존재합니다. 

판매자도 계약을 체결하기 전까지는 자기도 좋은 제품인지 나쁜 제품인지 알 수 없죠.

그리고 판매자는 안팔고 내가 써도 이득을 5와 2만큼 보고 구매자는 사서 쓰면 7과 4만큼의 효용을 얻는다고 생각해보죠.

 

판매자가 계약을 하기 위해서는 구매자가 일단 시장에 참여할 유인이 존재해야 합니다. 

또한 구매자는 계약을 하기 위해서 상대방이 나쁜 제품인데 좋은 척 하고 팔 유인이 없고 좋은 제품인데 나쁜 척 하고 팔 유인이 없게 해야합니다.

 

즉 아래와 같은 3가지 제약을 만족해야 하죠.

 

 

위 제약을 예상한 판매자는 계약 전에 자신의 기대이윤을 극대화할 수 있는 계약을 체결하려고 하죠. 기대이윤 식과 제약하에서 기대이윤을 극대화하는 값들을 구해주면 된답니다.

 

이제 공공재 설치 시에 나타나는 그로브스 레드야즈 메커니즘이라는 것을 살펴보겠습니다. 보통 게임이론이 아니라 재정학에서 깊게 다루는 내용인거 같은데 설명해보겠습니다.

 

공공재를 설치할 비용 6이 필요합니다. 정부가 시민 1,2에게 얼마 낼거냐고 물어보면 보통 제대로 답하지 않죠.

그로브스 레드야드 메커니즘은 진실을 말하게 하는 메커니즘입니다.

정부가 시민 1,2에게 m1,m2 지불용의를 적어내라고 합니다. 

m1+m2가 6보다 크다면 실제 지불액 w=6-m2가 되죠. 

자신이 적어낸 것에 영향을 받지 않으므로 솔직하게 말하든 말든 상관이 없다는 논리입니다.

 

이를 일반화해보죠

1. 이미 내가 뭐라하든 설치가 확정일때

2. 내가 뭐라 하든 설치가 안될 때

3. 내 선택에 따라 설치가 될 수도 안될수도 있는 경우의 수를

모두 체크해보았습니다.

결국 진실을 말하는 것이 약우월하다는 것을 알 수 있죠.

 

하지만 이 메커니즘의 문제점이 있는데요. 거둬들인 세금으로 건설액을 충당하지 못한다는 것입니다.

이는 재정학에서 허비츠의 정리로 이어지는 내용이니 궁금하시면 재정학을 공부해보세요.

 

이제 배타적 계약에 대해 살펴보겠습니다.

사실 이것도 산업조직론에서 다룬 내용이긴 하는데 결국 기업 a가 기업 b의 한계비용을 모를 때 이윤을 극대화하고자 하는 미비정보하의 메커니즘을 설계하는 것입니다. 

우선 배타적 거래를 구매자가 받지 않을 경우에 판매자와 구매자의 기대효용을 구해보았습니다.

왜 구했냐면 거래를 거부할 시 0.5의 유보효용이 구매자에게 있다는 사실을 알 수 있기 때문이죠.

 

이후 배타적 거래가 이루어지기 위한 조건과 기업 b의 진입확률을 구할 수 있죠.

 

그렇다면 이런 조건을 사용해서 a의 기대수익을 극대화하는 전략을 찾아야 합니다. p로 미분 시 항상 양수이므로 p는 클수록 좋고 b로 미분시의 조건에서 b또한 구할 수 있죠. 

 

하지만 이는 사회효율적인 결과가 아닙니다. 이유는 그림을 읽어보세요