경매이론과 수익동등정리

경매이론에 대해 알아보겠습니다. 경매는 손을 들며 하는 공개구두 경매와 남들이 자기가 얼마 낸지 모르게 하는 밀봉입찰경매 두개의 방식으로 나눠볼 수 있습니다.

또한 공개구두 경매는 0원부터 시작해서 마지막까지 손 들고 있는 사람이 사는 영국식 경매와 높은 가격에서 시작해서 점점 낮춰가며 손 든 사람이 사는 네덜란드식 경매 두가지 방식이 존재합니다.

 

밀봉입찰경매는 가장 높은 가격을 적어낸 최고가밀봉입찰과 가장 높은 가격을 적어낸 사람이 2번째 가격을 적어낸 사람의 지불액을 내는 차가밀봉입찰이 존재합니다.

 

우선 영국식 경매의 기대효용과 판매자의 기대수익을 위와 같이 구해 볼 수 있습니다.

 

차가밀봉입찰에서는 지불용의가 V인 고평가 구매자가 V를 적어내는 것이 약우월한 전략이므로 여전히 1의 결과와 같습니다.

 

최고가 밀봉입찰에서는 2번과 같은 약우월전략이 존재하지 않습니다. 만약 내가 V를 낸다면 내 기대보수는 항상 0이기 때문이죠. 모든 순수전략 균형에 대해서 이탈유인이 존재합니다. 그렇다면 혼합전략균형을 살펴봐야 하는데요.

특정 확률분포에서 내 입찰액을 뽑은 다음에 지불 하는 방식이죠.

 

그러한 전략을 사용한다면 기대효용을 내가 입찰받을 확률*(V-입찰액)으로 나타낼 수 있고 혼합전략의 정의상 가능한 모든b에 대해서 같은 기대효용을 느껴야 하므로 b의 상한선을 알 수 있습니다.

 

이를 통해 기대보수를 극대화하는 확률분포 G또한 유도할 수 있는 것이고 전략을 알 수 있죠.

 

계산이 복잡하긴 하지만 최고가밀봉입찰에서 판매자의 기대수익도 구할 수 있습니다.

 

마지막으로 네덜란드 식 경매입니다. V에서 바로 손든다면 항상 0이므로 V보다 낮게 손 들 유인이 존재하죠. 또 3번과 같은 논리로 순수전략균형은 존재하지 않고 3번과 같은 혼합전략균형을 얻게 됩니다.

 

번외로 이제 지불용의가 0이랑 V뿐만이 아니라 3개인 경우도 한번 써봤습니다. 

 

여기서 신기한 사실이 있는데요. 구매자의 기대보수와 판매자의 기대수익이 1,2,3,4 모두 같았다는 겁니다.

 

이를 수익동등정리라고 하는데요. 구매자들이 개인가치가 존재하고 위험중립적이며 담합이 없다면 4가지 경매방식은 모두 동일하다는 것입니다.

 

그렇다면 이제 가정을 하나씩 깨보겠습니다.

 

우선 개인가치가 존재하는 것이 아니라 내 지불용의에 따라 상대방의 지불용의가 달라지는 경우는 개인가치가 존재하지 않는 것이겠죠.

 

위 경우는 개인가치가 존재하는 경우입니다. 내 지불용의에 따라 상대방의 확률분포가 달라지지 않기 때문이죠.

계산이 많이많이 복잡하긴 했는데 영국식 경매와 최고가밀봉입찰의 경우가 동일하다는 것을 알 수 있죠.

 

하지만 위와 같이 개인가치가 존재하지 않는다면?

영국식 경매와 최고가밀봉입찰 경매의 결과가 다르다는 것을 직접 확인해보세요

 

이제 위험중립적 가정을 깨보겠습니다.

위험회피자이든 말든 영국식 경매에서는 자기의 지불용의까지 손을 들고 있는게 맞는 전략입니다. 즉 달라질 게 없죠.

하지만 최고가입찰경매에서는 기댓값이 기대효용이 되지 않으므로 확률분포가 달라지게 됩니다. 그렇기 때문에 영국식 경매와 결과가 달라지게 되죠.

 

담합의 경우에 간단하게만 말로 써보자면 영국식경매는 누가 배신했는지 알 수 있는 구조입니다. 즉 담합이 잘 유지가 될 수 있죠. 하지만 최고가입찰같은 밀봉입찰은 담합이 유지되기 어렵습니다. 판매자에게 기대수익은 최고가입찰이 더 높게 되는 것이죠.