연립방정식 모형과 식별 (2SLS, 내생성 검정)

우리가 일반적으로 추정하는 회귀식은 하나의 식이었습니다.

하지만 두 식이 연립되어있다면?

예를 들어 수요곡선과 공급곡선을 구하고 싶지만 우리가 관찰하는 정보는 수요=공급이 되는 점들입니다. 즉 수요와 공급곡선을 유추할 수 없다는 것이죠.

하지만 수요의 이동으로 인한 결과를 알 수가 있다면? 공급곡선의 생김새는 알 수 있겠죠. 이러한 아이디어로 접근해보겠습니다.

 

즉 공급곡선을 추정하기 위해서는 수요곡선에만 존재하는 요인이 필요하다는 뜻입니다. 여기서 식별의 개념을 알아보겠습니다.

추정이 가능하다는 것을 식별이라고 하는데요. 식별의 종류에는 과소식별 적도식별 과다식별이 있습니다.

과소식별은 수요곡선만의 요인이 공급곡선에 있는 내생변수의 개수보다 작은 것입니다.

적도식별은 p라는 내생성이 있는 요인이 수요곡선에 Y라는 수요곡선만의 요인이 존재하는 것처럼 짝이 맞는거

과다식별은 그러면 더 많은 것이겠죠?

 

이 식별이 완벽하게 되려면 위수조건과 계수조건 2가지를 모두 만족해야 합니다.(사실 계수조건을 만족하는지 체크하는 효용이 낮아서 필요없다고 말씀하시는 분들도 계십니다. 아마 교과서에서 안다루는 책들도 그래서 있을거에요)

 

위수조건은 위에서 말했듯이 내생변수보다 설명할 수 있는 요인이 더 많거나 같아야 식별이 가능하다는 조건입니다.

 

하지만 이 위수조건만 가지고는 식별이 가능하다고 말할 수가 없는데요

 

선형대수를 배우신 분들은 아시겠지만 RANK라는 계수조건이 있습니다.

만약 수요곡선에 있는 요인이 사실 아무 의미없는 요인이었다면? 식별이 불가능한거죠. 파랑색으로 쓴 것을 읽어보시면 됩니다. 

 

어쨋든 다시 돌아와서 연립방정식 모형이 어떻게 내생성을 만드는지 살펴보고 이때 OLS 추정 시 어떠한 일이 있는지 알아보겠습니다.

 

우선 구조모형과 축약형 모형이라는 개념부터 알아야 합니다. 구조모형은 말 그대로 식의 구조를 보여주는 것이죠.

앞서 수요와 공급식 그대로 쓴 것처럼 말이죠

 

여기서는 소비와 소득간의 관계로 설명해보겠습니다.

구조모형에서 보다시피 소비와 소득이 서로 영향을 주는 내생변수이죠. 그리고 투자라는 외생적인 변수가 존재함을 알 수 있습니다.

 

축약형 모형이란 C와 Y라는 내생변수를 오직 I와 상수같은 외생적인 변수로만 표현한 것입니다.

이를 통해 (Y,e)가 내생성이 존재한다는 것을 확인할 수 있죠

 

내생성이 존재하므로 OLS는 올바른 추정량이 아니게 될 건데요

실제로 일치추정량이 되지 않는 것을 확인할 수 있습니다.

 

그렇다면 a,b를 추정하는 방식은 뭐가 있을까요? 이전 포스팅에서 다룬 도구변수를 사용해도 되지만 여기서는 다른 방식들을 다뤄보도록 하겠습니다.

축약형 구조의 모수들은 추정할 수 있다는 점을 감안하여 a,b를 추정할 수 있는 것이죠. 축약형의 모수를 간접적으로 추정하여 이용한다는 것에서 간접최소자승법이라고 부릅니다.

 

하지만 이는 적도식별에서만 가능하다는 문제가 있는데요.

이제는 Y=C+I+G라는 I와 G라는 두가지 외생변수를 추가하여 축약형 모형을 구해보겠습니다.

이를 통해 b라는 모수를 I를 통해 추정하는 방식과 G를 통해 추정하는 방식이 나올텐데요.

만약 회귀분석을 통해 Y=1+I+1.01G라는 식을 추정했고 C=1+0.7I+0.7G라는 식을 추정했다면

b는 0.7과 0.7/1.01라는 두가지 추정값이 나오게 되므로 하나의 값으로 식별이 불가능하죠

 

그렇다면 이렇게 과다식별된 경우에는 어떠한 방식을 이용해야 할까요?

대표적으로 2SLS 방식이 있습니다.

과다식별된 변수들을 하나의 변수로 만드는 방식이죠. 위 그림에서 시그마 있는 3줄은 왜 도구변수가 과다식별에서 불가능한지 대충 쓴겁니다. 하나의 변수로 만드는 이유가 되는 거죠. 읽어만 보세요.

내생성이 있는 X라는 변수를 외생변수 Z1,Z2를 통해 회귀를 돌린다면 잔차가 X에 내생성을 만드는 원인이 될 것입니다. Z1,Z2는 외생변수이기 때문이죠. 

 

즉 이러한 X^이 내생성이 없는 변수이므로 OLS가 가능한 것이죠.

 

그렇다면 이제 연립성이 있는지 어떻게 체크하는지 살펴보겠습니다. 연립성이 없다면 그냥 OLS를 사용하는게 더 좋기 때문이죠

 

외생변수 Z1,Z2가 있을 경우 앞에서 했던것처럼 내생성이 있는 변수 X를 내생성이 있는 잔차부분과 없는 부분으로 분리하여 이를 대입하는 것입니다. 만약 내생성이 있는 잔차 부분의 회귀계수가 유의하다면 내생성이 있다는 것이죠

 

사람에 따라서 검정색으로 쓴 방법과 파랑색으로 쓴 방법을 이용하는데 크게 다를 건 없습니다. 사실 저는 후자가 좀 더 편하더라고요

 

두번째로 하우스만 검정입니다. 

사실 하우스만 검정은 패널데이터를 다룰때 고정효과 랜덤효과를 구분할 때도 나오는데요. 비슷한 논리입니다.

도구변수를 통해 얻은 추정량과 OLS를 통해 얻은 추정량에 큰 차이가 없다면 내생성이 애초에 없던 거다라는 논리입니다. 

통계량은 카이제곱분포를 사용한답니다.