고전적 가정의 붕괴-이분산

고전적 가정에서는 우리가 동분산을 가정했는데요. 이러한 가정이 깨진다면 어떤 일이 있는지 알아보겠습니다.

 

앞서 우리는 추정량을 위와 같이 구했습니다. 직접 기댓값을 씌워보시면 이분산이 존재해도 불편성에 문제가 없다는 사실을 알 수 있는데요. 그렇다면 분산에는 어떤 일이 일어날까요?

이분산의 존재로 인해 기존에 구했던 분산과는 다른 일이 일어나게 됩니다. 즉 우리가 고전적 가정하에서 구한 분산을 사용할 수 없다는 이야기죠

 

그렇다면 이분산을 탐지하는 방법은 어떤 것이 있을까요?

당연하게도 x,분산 평면에서 눈으로 확인하는 방법이 있습니다. 이거말고도 어떤것들이 있냐면

 

첫번째로 BP 검정이 있습니다.

이는 분산이 설명변수의 선형함수라는 사실을 가정하고 시작하는데요.

즉 귀무가설은 분산의 회귀계수들이 전부 0이다라고 해석할 수 있습니다.

 

분산을 파악하기 위해서는 오차항이 필요하지만 우리는 오차항을 알 수 없기 때문에 잔차를 이용하게 됩니다. 잔차를 이용해서 F검정을 하여 동분산이라는 귀무가설을 검정할 수 있죠.

하지만 대표본에서는 F 통계량 대신 NR^2이라는 통계량을 사용할 수 있습니다.

 

두번째로 화이트 검정이 있죠.

앞서 BP 검정은 분산이 선형함수라는 가정이 필요했습니다. 하지만 화이트 검정은 비선형일 경우까지 고려합니다.

잔차제곱의 식이 BP 검정과 어떻게 다른지 확인해보세요. 화이트 검정이 어떻게 비선형까지 체크할 수 있는지 보일 겁니다. 하지만 이는 너무 많은 설명변수가 필요합니다. BP에서는 X1,X2뿐이지만 화이트에서는 5개의 설명변수가 필요하죠.

즉 자유도의 문제가 생겨서 검정력이 약해진다는 단점이 있습니다.

 

마지막으로 GQ 테스트 입니다.

X를 작은 것부터 큰 순서로 배열한 후 X가 작은것들끼리 회귀분석을 돌리고 큰것끼리 회귀분석을 돌려 각각의 잔차를 구합니다.

그 잔차제곱합이 비슷하다면 X가 달라져도 잔차제곱합이 비슷하다는 의미이므로 이분산이 아니다라는 논리입니다.

비슷하다가 조금 주관적인데 그렇다면 비슷하다의 기준이 무엇일까요? F분포를 이용한다는 사실

 

 

그렇다면 이제 이러한 이분산 문제를 어떻게 해결하는지 알아보겠습니다.

로그변환을 통해 아예 단위를 줄여버려 분산의 차이가 적어보이게 만드는 것이죠.

또한 로그변환은 탄력성을 얻을 수 있다는 장점도 있죠. 이건 너무 기초라 생략

 

그 다음 화이트 표준오차라는 것을 이용할 수 있습니다.

우리는 이분산의 경우 각각의 분산을 알 수 없기에 t검정 f검정이 불가능한 상황에 처해있었습니다.

하지만 화이트 교수님이 대표본에서 분산 대신 잔차제곱을 이용하는 것이 일치추정량이 될 수 있다는 점을 증명해주셨습니다.

화이트 표준오차를 사용하는 것이 하나의 방법이 될 수 있겠죠. 다만 소표본이고 동분산일시 저걸 사용하면 문제가 되겠죠?

 

마지막으로 WLS라는 가중평균최소자승법? 용어를 잘 모르겠네요. 

우리가 이분산의 구조를 알 경우 그 이분산을 동분산으로 만들어줄 수 있도록 식을 변형을 한 후 추정을 하는 것입니다. 

하지만 이분산을 안다는 것 자체가 말이 안되는 가정이라  이론상에서만 가능합니다. 

그렇기에 이분산이 어떻게 생겼을 것이다라고 가정해서 추정한 후 사용한답니다.