베이즈내쉬균형

앞서 우리는 내쉬균형과 SPNE의 개념에 대해 알아본 적 있습니다. 하지만 정보가 완전한 경우와는 다르게 미비정보인 경우에는 BNE라는 개념이 필요합니다. 

예를 들어보죠 기업 1이 고비용으로 투자해야 할지 저비용으로 투자해야할지는 시장상황에 따라 달라집니다. 그건 기업 1만이 알고 있는 사실이죠. 간단하게 하기 위해 기업 1은 우월전략이 정해져 있어 고비용일 시 투자하지 않고 저비용일 시 투자하는 상황을 살펴보죠.

(전개형게임 형식으로 그려놨지만 기업 1이 뭘 선택하든 기업 2는 전략을 수정할 수 없습니다. 미비정보라서 어차피 새로운 정보가 업데이트되는 것이 아니기 때문이죠. 그렇기에 정태적인 정보게임이고 여기서는 부분게임같은 것을 고려할 이유가 없죠)

 

즉, 2는 기업 1이 고비용일 확률b를 알기 때문에 기대보수가 극대화되는 전략을 선택하는 것이 BNE가 되는 것입니다.

 

위의 예시에서 보듯이 미비정보가 존재하는 경우에는 확률이라는 개념이 필요한데요. 

이에 더해 신념이라는 개념이 필요합니다. 기업 2가 기업 1의 확률이 얼마냐고 생각하느냐에 따라서 균형이 달라지기 때문이죠.

즉 위 게임의 베이즈내쉬균형은 위와 같이 되는 것입니다.

 

이를 전략형 게임으로 표현하면 다음과 같습니다. 기업 1은 고비용일때 투자x 저비용일때 투자하는 전략만을 고집할 것이고 기대보수들을 작성하면 다음과 같죠. 

 

실제로 상대방의 전략이 고정되어있다고 가정 할 시 각 기업들은 이탈할 유인이 존재하지 않죠. 

내쉬균형이 맞고 미비정보하의 내쉬균형이므로 베이즈내쉬균형이라고 부르는 것입니다.

 

이제 조금 모형을 변형해보죠 저비용일시에 우월전략이 존재하지 않는 경우입니다.

 

앞선 경우와는 달리 기업 1의 전략이 조금 달라져야 하는데요. 저비용일 시 기업 2가 투자할지 안할지를 모르기 때문입니다.

 

위와 같은 전략을 사용하게 되죠.

 

이를 조금 더 정리해서 나타내면 각 기업들의 전략을 p와 q 서로의 신념으로 나타낼 수 있습니다.

혼합전략 균형에서 했던 것처럼 이러한 p와 q를 평면에 나타내본다면 b의 범위에 따라 균형이 달라지겠네요.

 

실제로 전략형 게임을 그려서 살펴본다면 b의 범위에 따라서 순수전략 균형이 어디서 달성되는 지 알 수 있을 겁니다.

 

 

만약 고비용일때도 우월전략이 없다면? 

그때는 기업 1의 전략이 4개가 되는 것이겠죠. 좀 귀찮긴 한데 BNE를 여전히 구할 순 있습니다.

 

 

그렇다면 bne를 이용한 공공재 게임의 변형을 살펴보도록 하겠습니다. 

공공재를 건설하기 위해서 소비자들은 돈을 지불해야 하고 그 결과를 전략형 게임으로 나타내면 위와 같습니다.

c의 범위에 따라서 우월전략이 존재하는데요. 어 그렇다면 c가 어느 순간 무차별해지는 구간이 있지 않을까 생각할 수 있습니다. (혼합전략 균형에서의 아이디어와 같은 아이디어죠)

 

즉 각 소비자들은 위와 같이 전략을 사용할 수 있는데요.

 

이렇게 bne를 구할 수도 있답니다. 투자게임과 다른 점은 투자게임에서는 상황이 고비용이냐 저비용이었냐에 대한 확률이었고 지금은 상대방의 보수에 대해 미비정보가 있는 상황이었죠. 게임의 구성을 보고 생각을 하신 다음에 잘 사용하시면 됩니다.

 

그리고 가끔 미시경제학 심화연습책 같은데에서 쿠르노의 bne를 물어보는 것이 나오는데 bne의 개념을 안다면 간단합니다.

기업 2만 자신의 mc를 알기에 기업 2의 반응을 토대로 기업 1은 자신의 이윤을 극대화하려 하겠죠. 기업 1의 반응함수를 구하고 잘 연립한다면 균형이 나올 것입니다.