부분게임(SPNE)의 응용

우리는 전개형게임을 사실 미시에서 본 적 있습니다. 쿠르노나 베르뜨랑을 쿠르노 내쉬균형이라 하지만 스타겔버그 균형을 스타겔버그 부분균형이라고 하는 것을 본 적 있을겁니다. 없을수도 있고요

 

이 전개형게임의 성격과 역진귀납법을 이용해서 전개형게임을 응용한 여러 게임들을 살펴보죠

첫번째로 스타켈버그 모형입니다. 기업 1이 수량을 보고 2가 결정한다는 것은 결국 전개형게임과 같은 논리입니다.

미시에서 했으니 간단히 넘어가고

 

그 다음은 뱅크런 모형입니다. 

2명의 예금자가 있고 1이 인출한 후 2도 인출하면 뱅크런이 발생하는것이죠.

여기에 2는 1의 인출여부를 모르는 부분게임을 생각해보죠

이렇게 전개형 게임을 그려볼 수 있습니다. 

주황색 부분게임에서 2는 1이 어떤것을 선택하든 인출을 하는게 유리하므로 이를 아는 1은 인출을 할 것입니다. 이 결과를 이용해 전개형 게임을 더 간단하게 나타낼 수 있는데요.

 

전개형 게임으로 간단히 나타냈으므로 전략형게임으로도 나타내 볼 수 있습니다. 내쉬균형은 총 2개가 나옵니다.

1번 내쉬균형 인출-인출은 예금자 2가 인출할 것이라는 믿음 하에 1이 인출하는 것이고

2번 내쉬균형은 예금자 2가 유지할 것이라는 믿음 하에서 2도 유지하는 균형입니다.

 

두 내쉬균형 모두 각 부분게임트리의 부분게임을 만족합니다. 즉 내쉬균형과 부분게임완전균형 둘 다 2개인 셈이죠

여기서 중요한 함의가 있는데요. 1번 내쉬균형에서 예금자 2가 인출할 것이라는 믿음이 있다면 1도 인출하여 뱅크런이 발생할 수 있습니다. 즉 자기실현적 예언이 발생하는 것이죠. 

실제로는 아무렇지 않아도 예금자 1의 믿음때문에 뱅크런이 발생해버린 겁니다.

 

전략적 무역정책에 대해 알아보죠

각 국가는 사회후생을 극대화하려고 합니다. 사회후생은 소비자잉여+기업의 이윤+세금으로 구성되어 있죠.

즉 관세나 보조금을 통해 기업의 이윤과 소비자잉여를 극대화시키고 세금의 증감을 조절하여 SW를 극대화시키는거죠

 

결국 1단계: 관세나 보조금을 결정

2단게: 관세나 보조금으로 기업들이 이윤극대화 결정을 함 이라는 게임으로 나타낼 수 있죠.

 

이제 위 그림의 가정을 그대로 사용해서 폐쇄경제와 자유무역 관세전쟁을 분석해 보겠습니다.

 

폐쇄경제와 자유무역으로 각각의 사회후생을 구했습니다.

 

두 국가가 수입관세 t1,t2를 부과하는 경우를 생각해보죠.

계산이 더럽지만 잘 연립하고 따라가면 사회후생을 극대화하는 t1과 t2가 각각 4이고 sw는 대략 58이라는 걸 알 수 있습니다.

 

우리가 자유무역에서 구했던 SW=64보다 작은 수치이죠. 

 

또한 계산해보시면 나만 관세를 부과하고 상대방이 자유무역을 원하면 나는 72의 후생 상대는 50의 후생을 얻습니다.

 

즉 우리는 이 전개형게임을 나라1이 관세를 4 부과한다 만다라는 2가지 전략 나라2도 동일한 2X2 전략형게임으로 나타낼 수 있는것이죠.  

 

다음으로 호텔링 모형에 대해 분석해보겠습니다. 사실 산조에서 한 적 있긴한데 이것도 결국 전개형게임입니다.

1단계에서 기업들은 각자의 위치를 설정하고 2단계에서 가격을 설정하는 구조이기 때문이죠. 또한 소비자들은 거리 제곱*T의 비용을 느낀다는 가정을 하고 분석하겠습니다.

 

먼저 역진적으로 2단계 게임부터 풀어본다면 우리는 가격을 어떻게 설정하는지를 보일 수 있습니다.

 

이제 위치 선정이 중요하겠네요.

즉 기업들은 맨 양끝에서 위치를 선정하는 것을 알 수 있습니다.

하지만 이는 사회적으로 효율적인 결과가 아닌데요. 자세한 논리를 알고 싶으시면 산업조직론에서 쓴 호텔링 모형 참고해주세요.

 

이제 전개형게임 응용버전들을 알았으니 연습문제를 하나 풀어보겠습니다.

김영세 교수님 교과서에 있는 합작투자게임인데 재미있어서 가져와봤습니다.

기업 1이 투자액을 정하고 2도 투자액을 정합니다. 두 투자액의 합이 R을 넘는다면 서로 V의 결과를 받고 그냥 기업 1이 R을 투자해버리면 바로 V를 받는거죠. (기업 1에게는 할인인자가 존재하기 때문에 가능한 가정) 

 

1. 부분게임완전균형을 찾아라

먼저 SPNE를 찾아보라는 소문항입니다.  이는 V와 R의 크기에 따라 달라질건데요. 한번 분석해보죠

먼저 기업 2의 게임을 생각해보겠습니다. V가 R^2보다 크다면 기업 2의 입장에서는 항상 투자할 것입니다. 0보다는 큰 이익을 얻을 수 있겠죠. 그렇다면 기업 1은 당연히 투자하지 않을 것이고 위 그림과 같은 게임으로 축약되게 됩니다. 

여기서 0을 선택할 지 R을 선택할지는 R과 V의 관계에 따라서 달라지겠죠.

 

두번째로 V가 R^2보다 작은 경우입니다. 이 경우에는 기업 2는 쌩으로 R을 투자하지 않으므로 1도 어느정도 투자해야 합니다.

근데 기업 1 또한 1기에 R을 투자하는 경우는 불가능하죠. 즉 투자는 기업 1과 기업 2 모두 양의 이익을 보는 구간에서 투자해야 이루어지는 것입니다.

 

즉 2가지 조건을 만족해야 투자가 이루어지는 것이죠. 

위 그림을 자세히 읽어보시면 됩니다.

 

2. R,V 관계에 따라 어떻게 투자가 이루어지는지 그려보시요.

이제 위에서 얻은 결과들을 그려주기만 하면 됩니다.